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1/1+x2
arctanx的导数是1/1+x2,设y=arctanx,则x=tany,因为arctanx′=1/tany′,且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos2y=1/cos2y,则arctanx′=cos2y=cos2y/sin2y+cos2y=1/1+tan2y=1/1+x2。
arctanx(即Arctangent)指反正切函数。反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x),则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数,前提要f'(x)存在且不为0)。
反正切函数arctanx的导数
(arctanx)’=1/(1+x^2)
函数y=tanx,(x不等于kπ+π/2,k∈Z)的反函数,记作x=arctany,叫做反正切函数。其值域为(-π/2,π/2)。反正切函数是反三角函数的一种。
反正切函数arctanx的求导过程
设y=arctanx
则x=tany
因为arctanx′=1/tany′
且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos2y=1/cos2y
则arctanx′=cos2y=cos2y/sin2y+cos2y=1/1+tan2y=1/1+x2。
所以arctanx的导数是1/1+x2。
其他常用公式
(arcsinx)’=1/√(1-x^2)
(arccosx)’=-1/√(1-x^2)(arctanx)’=1/(1+x^2)(arccotx)’=-1/(1+x^2)
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