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圆心角和弧长的关系推理（扇形的面积和圆心角的关系）

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一．概念描述

现代数学：扇形亦称圆扇形。它是圆上的一种特殊图形，指由一条圆弧和过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。扇形的两条半径所夹的角称为扇形角。劣弧与过其端点的半径所组成的扇形称为劣扇形（如图1）；优弧与过其端点的半径所组成的扇形称为优扇形（如图2）；扇形角为直角的扇形称为直角扇形（如图3）。

圆心角和弧长的关系推理（扇形的面积和圆心角的关系）

小学数学：实验稿《课标》在第一、第二学段中没有认识扇形的要求，但在第二学段“统计与概率”部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，因此有的教材出于对知识的系统性、逻辑性和连贯性的考虑，安排了初步认识扇形（如冀教版教材）。还有2011年人教版教材六年级上册的第72页，向学生介绍弧、扇形、圆心角等概念，以便学有余力的学生在课外自主学习扇形面积的计算方法。

由上面的定义可知，扇形是由三部分组成，弧、两条半径和圆心角。

2011版《课标》在第一学段“图形与几何”内容中增加了对扇形的认识，具体表述如下：“通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。”从目标的表述上可以看出，对扇形的认识也只停留在了解和初步认识层面。

二．概念解读

扇形是与圆有关的一种重要图形，它是圆的一部分。由于圆具有轴对称性、中心对称性以及旋转不变的对称性，因此在圆中存在一种显而易见的对应关系，那就是360度的圆心角既对应360份的弧长、360份的扇形面积，即1度的圆心角对应1度的弧长，1度的圆心角对应1度的扇形面积。若R为半径，圆心角为n度的扇形的弧长就等n/360×2πR，圆心角为n度的扇形面积等n/ 360×πR2。由此可见，扇形面积与圆心角（顶角），圆半径相关，而且扇形面积与圆面积之间还存在着一定的比例关系。

小学阶段与扇形有关的知识是扇形统计图。扇形统计图正是应用了扇形面积与圆面积之间的比例关系制成的。扇形统计图用整个圆表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分量占总数量的百分之几，扇形统计图中各部分的百分比之和等于“1”。通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。

三．教学建议

对于扇形这部分知识，虽然属于选学部分，但有的老师靠虑到这一知识与“圆”的知识密切相关，所以在学习完圆的认识之后，适时地引出扇形的概念，这样一是拓宽了学生的知识面，二是可以为初中进一步认识圆做些铺垫。在教学时，教师可以让学生通过观察，发现“扇形”就像一把打开的扇子，从而建直图形的表象。在此基础上，再引导学生从数学角度观察，看看扇形有什么特征；并通过交流引导，使学生认识扇形的特征，知道扇形的组成部分：一个角（顶点在圆心）、两条半径和一段弧。

有关扇形面积的计算出现在第三学段，但也有老师考虑到扇形统计图正是利用了扇形面积与圆面积之间的比例关系制成的，因此，教师在讲完圆的面积后也可稍作延伸，为后续知识的学习稍作渗透。如任卫兵老师不仅让学生初步认识了扇形，而且还带着学生研究出了扇形的面积计算公式。任老师凭借多年的教学经验，认为学生已经有了圆的面积以及角的大小关系的知识基础，而且也具备了一定的探究数学问题的能力，空间观念也有了一定的发展，因此完全可以在第二学段就教学扇形的面积。下面是任老师的一段课堂教学实录：

在学生初步认识了扇形之后，教师拿出一把折扇．并演示把它打开到再同的角度。

师：大家注意到没有，同样一把折扇，打开的角度越大，扇出来的风就越怎样？打开的角度越小呢？

生：打开的角度越大，扇面与空气接触的面就越大，扇出来的风就越大；打开的角度越小，扇面与空气接触的面就越小，扇出来的风就越小。

师：这位同学很有生活经验，而且还掌握了一定的科学知识。由此可见，扇形的面积与什么因素有关？

生：扇形的面积与它的圆心角的大小有关。

师：扇形的面积除了与圆心角的大小有关外，它还取决于什么呢？

师：（又拿出另一把小一些的折扇，并演示把两把折扇打开到相同的角度，而且放到一起比较）大家再注意看，这两张扇面，哪一张面积比较大？哪一张面积比较小？因此扇形的面积还与什么因素有关？

生：扇形的面积还与它的半径的长短有关。

生：扇形的面积取决于它的半径的长度以及圆心角的度数。

……

任老师在课上仅仅利用了两把折扇，再加上学生的生活经验，就把决定扇形面积大小的两个因素找了出来，后面再推导扇形的面积也就水到渠成了。

但是对于这部分教学，教师还是要根据学生的实际情况而定。如果学的基础较好，教师可以适当延伸。如果学生的基础较差，教师也不必强求，以免加重学生的负担。

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