正方体的表面积等于体积吗

一、 基本知识

正方体的表面积等于体积吗

二、拓展知识

正方体的表面积等于体积吗

例1 如图 ,有一个棱长 4cm 的正方体,从它的右上方截去一个长、宽、高分别为 4cm 、2cm 、1cm 的长方体,求剩下部分的表面积。

正方体的表面积等于体积吗

解:将剩下多面体的两个面平移,

则 多面体比原正方体前、后各少了两个面,

∴ 剩下部分的表面积是:

(4×4)×6 –(1×2)×2

= 96 – 4

= 92(cm2)

答:剩下部分的表面积是 92cm2。

【思考1 】 大正方体的边长是 4cm ,在此正方体的上面的正中间向下挖一个边长为 2cm 的正方形小洞。那么得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?

正方体的表面积等于体积吗

提示:立体图表面积 = 原正方表面积 + 挖后增加面积 (答案:112 cm2 )

例2 长方体的右面和上面面积之和是 209cm2 ,它的长、宽、高都是质数,则这个长方体的体积为多少立方厘米?

正方体的表面积等于体积吗

【思考2 】 如图 ,一个正方体被切成 24 个长方体,这些小长方体的表面积总和为 162cm2 ,求这个正方体的体积

正方体的表面积等于体积吗

提示:分成 24 个小长方体,正方体共切了 6 刀,每切 1 刀增加 2 个正方体的面。

则 切 6 刀后,正方体的面共增加了:(2×6)个

即 每面面积×6 + 每面面积×(2×6)= 162

可求出正方体:每面面积、棱长,从而求出这个正方体的体积。(答案:27 cm3 )

例3 一个长方体木块,从上部截去高为 6cm 的长方体后,得到一个正方体,这个正方体的表面积比原来长方体减少了120cm2 ,原来长方体的体积是多少立方厘米?

正方体的表面积等于体积吗

解:∵ 截去小长方体后,得到一个正方体,

∴ 原长方体的上、下底必是正方形,减少的 120cm2 必是小长方体的侧面积。

原底面周长: 减少的侧面积÷截去的高 = 120÷6 = 20(cm)

原底面边长: 底周长÷4 = 20÷4 = 5(cm)

原长方体高: 6 + 5 = 11(cm)

∴ V = 5×5×11 = 275(cm3)

答:原来长方体的体积是 275cm3 。

【思考3 】 一个长方体大木块,从下部和上部分别截去高为 3cm 和 2cm 的长方体后,使之成为一个正方体,表面积减少 120cm2 ,原来长方体的体积是多少立方厘米?

正方体的表面积等于体积吗

提示:截去两个小长方体后,得到一个正方体,原长方体的上、下底必是正方形,减少的 120cm2 必是两个小长方体的侧面积。

原底面周长 = 减少的侧面积÷截去两个高的和

原底面边长 = 底周长÷4

原长方体高 = 3 + 原底面边长 + 2

然后求出原长方体的体积。 (答案:396 cm3 )

例4 一个棱长为 11 厘米的正方体,在它相邻的三个面中心处各凿一个长、宽各 3 厘米的洞,所凿的洞均穿透这个正方体,现在这个物体的表面积和体积各是多少?

正方体的表面积等于体积吗

解:外表面积:

11×11×6 – 3×3×3 =(121 – 9)×6

= 112×6

= 672(cm2)

内表面积:

{ [ 3×(11 – 3)]×4 }×3 = 3×8×4×3

= 32×9

= 288(cm2)

∴ 表面积是:

672 + 288 = 960(cm2)

原来体积:

11×11×11 = 1331(cm3)

凿去体积:

[ 3×3×(11 – 3)÷2 ]×6 + 3×3×3

= 36×6 + 27

= 216 + 27

= 243(cm3)

∴ 现体积是:

1331 – 243 = 1088(cm3)

答;现在这个物体的表面积和体积各是960平方厘米和1088立方厘米。

【思考4 】 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块,从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔,求这个立体图形的表面积。

正方体的表面积等于体积吗

S立表 =(2×2×6)×8 +(1×1×6)×12–[(1×1×2)×2 ] ×12

= 192 + 72 – 48

= 216(cm2)

答:这个立体图形的表面积是 216cm2 。

例5 如图是由 120 块小立方体构成的 4×5×6 的立方体,如果将其表面涂成红色,那么其中的一面、二面、三面被涂成红色的小立方体各有多少块?

正方体的表面积等于体积吗

解: 一面涂红看面里,有:

(4 – 2)×(5 – 2)×2 +(5 – 2)×(6 – 2)

×2 +(4 – 2)×(6 – 2)×2

= 12 + 24 + 16

= 52(块)

二面涂红看棱中,有:

(4 – 2)×4 +(5 – 2)×4 +(6 – 2)×4

= 8 + 12 + 16

= 36(块)

三面涂红看顶点,有:8 块。

答:一面、二面、三面涂红的小立方体各有 52 、36 、8 块。

正方体的表面积等于体积吗

【思考5 】 一个长方体,表面全部涂上红色后,被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体,如果在这些小正方体中,不带红色的小正方体的个数等于 13 , 那么两面带红色的小正方体的个数等于多少?

两面带红共有:

4 [(a – 2)+(b – 2)+(c – 2)]

= 4×[ 13 + 1 + 1 ] = 4×15 = 60(个)

答:两面带红色的小正方体的个数等于 60 。

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