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排列组合怎么算（关于排列与组合的方法有哪些）

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高中数学中我们遇到排列组合这一种内容，这类问题形式千变万化，没有固定的解题方法。本此介绍“顺序”在排列组合问题中的重要作用和两中基本原理的应用。然后介绍八种解提原则。

 

关键词：排列;组合;安排;方法;`顺序;原则。

 

引言

排列组合问题是高中数学的重点和难点之一，学习和总结此类问题的解决原则。掌握其他规侓对培养学生的逻辑思维能力，开发智力，提高素质非常重重要，那怎样解决排列组合问题呢？

1.“顺序”的作用和两种基本原理的应用

解决此类问题必须搞清楚什么时候用排列，什么时候用组合？“顺序”是判别排列或者组合的关键。排列是有关顺序的，组合是无关顺序的。比如：

例1：从我班68名学生中选2个人参加演讲比赛，有多少种方法？如果选出2个人分别参加演讲比赛和数学比赛有多少中选发？

解：（i）“甲乙”参加演讲比赛和“乙甲”参加演讲比赛是一回事，与“顺序”无关，是组合问题，有

（ii）“甲参加演讲比赛，乙参加数学比赛”和“乙参加演讲比赛，甲参加数学比赛”是两回事，与顺序有关，是排列问题有

我们还应该知道两个基本原理的用法。如果完成一件事的各类办法是独立的，则计算完成这件事的方法是用加法原理；如果完成一件事的各个步骤是相互依懒的，必需经过每一步骤才能完成这件事，就是用乘法原理。

2.几种基本原理

学习中除了灵活运用两个基本原理和公式之外，必须讲究一些基本策略和方法，抓住问题本质特征，采用合理恰当的方法处理。

9. 分类分布原则：皆含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分布，做到分类标准明确，分布层次清楚。因为排列组合问题的形式多种多样的原因，有些问题只能用分类可以解决，有些问题只能用排列可以解决，还有些问题也可能两种方法混合泳才能解决。

例2：从一班50人中选5人，从52人选出5人组成两个5人小组（一，二班人混合选）然后各组选正，副组长各一人，共有多少种选法？

解：用分布法。

第一步：保证有10人入选，有种

第二步：选好的10人分两组有2/种

第三步：两个小组都要选正，副组长有种

依据乘法原理总共有选法2/种

例3：从1，2，3，…，100中取两个数相乘，乘积能被6整除的数有多少对？

解：在1到100这一百个数中有33个是3的倍数，67个是非3的倍数。

把这一百个数按偶数奇数分类：

33个能被3整除的数

67个不能被3整除的数

第一类：在16个能被3整除的偶数和其他84个数中取1个相乘有=120

第二类：在16个能被3整除的偶数中取2个相乘，有=1344

第三类：在17个能被3整除的奇数和34个不能被3整除的偶数中各以1个相乘有=578

依据乘法原理共有++=2024

14.转化原则：一些常见类型放法熟知后，对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题构造一种模型，合理的进行转化，往往助于问题地解决。

例4:用1~6这数字可组成比200000大且百位数不是3的无重复的六位数有多少个？

解：这道题读起来比较乱，但细想起来，比200000大，其实“1”不在最高位，“3”不在百位，况且用六个数字组成六位数，因此可转化成 有六个人排成一排，第一个人不在第一位，第三个人不再第四位，有多少种排法？

这道题用分类法比较方便。

第一类：第一个人在第四位，此时第三个人无任何要求和其他4个共有5个元素进行排列，有种方法。

第二类：第一个人不在第四位，而第三个人也不能在排头，则第一个人有站法，其他有种排法，则有种排法。

依据加法原理共有

例5：已知集合 A和集合B个含有12个元素A∩B含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数。

2C∈A∪B，且C中含有3个元素；

2C∩A=

解：这道题的等价说法：集合A有12元素，集合B有8个元素，且A∩B=,求A∪B中取3个元素，其中至少含有A的一个元素构成的集合C的个数。共有

等价说法2：有男生12名，女生8名，从中选取3名学生做代表出席会议，代表中至少有一名男生。问：有几种选法？

共有=1084

这道题还可以用分类法来解决：

第一类：含A中一个元素的集合C有（个）

第二类：含A中二个元素的集合C有（个）

第三类：含A中三个元素的集合C有（个）

故所求集合C的个数是=1084

3.特殊优先原则：将特殊元素与特殊位置优先考虑可比较简单，提高正确率，同时提高思维能力。对于有要求的特殊元素的排列组合问题，一般应优先安排。

例6：安排甲，乙，丙三人周一到周六的值班，每人值班两天，其中甲不值班周一，乙必需值班周六。问：有多少种安排方法?

解：这里虽然甲，乙和周一和周六都具有特殊性，但甲先安排不影响乙，但乙先安排会影响甲，为简单起见，先安排甲，在安排乙。因甲不值班周一，又不能值班周六，故甲有种排法，然后乙已经选好周六值班，所以乙有种排法，最后丙有种排法。

共有种排法

这道题还可以用分步法解决。排法过程分三步考虑。

第一步：先考虑特殊元素，甲必须除了周一和周六以外的四天中选取两天，所以甲有 种排法。

第二步：剩下的四天中周六是已经乙必须值班的日子，所以乙有种排法。

第三步：丙有种排法。

依据乘法原理共有种排法。

4.正难则反原则：事物都是一分为二的，一些问题正面考虑情况真是复杂或者不易排出来，此时应考虑从反面入手，往往可以取得想不到的效果。

例7：在5双不同的鞋子中任取四只，要求四只中至少有两只是一双的可能取法有多少种？

解：此题正面考虑可以用分类法。

第一类：去四只恰为两双有种。

第二类：去四只恰为有一双，另两只是不配对有种。

根据加法原理共有+=130种。

若反面考虑，就是先从10只中选四只，然后一对也不配的部分减出去=130种。

把例2也可以用“正难则反原则”来解决。

比如：33个能被3整除的数

67个不能被3整除的数

解: =2042

5.相邻问题“捆绑”原则:对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素与其它元素排列然后再对相邻元素内部之间进行排列.

例8:四对 生兄妹座在一起照相,每对兄妹都不能隔开坐,则有多少种不同的坐法？

解：因为要求是每对兄妹看成一个元素，先把四个元素安排，然后每对兄妹的位置互相交换，就有种坐法。

6.顺序固定的问题用除原则：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这个元素的全排列数。

例9：将6人分三组下棋，有多少种分组方法？

解：先从6人中选2人为一组，有种，从余下的4人中任选2人作为一组有种，剩下的2人作为一组，所以应消除因有序分组造成的重复。固有=15种。

7.留空插入原则：对于某几个元素不相领的排列问题，可选将其他元素排好的元素之间及两端的空位置中插入即可。

例9：7人要站成一排，甲，乙，丙不相邻，有多少种排列方法？

解：7人中选让其余的人站好有种，在再间选3个位让甲，乙，丙插入有种方法，共种。

8.探索规律原则：对情况复杂，不易发现其规律的问题要仔细分析，用实验寻找，探索出其中规律是有效的方法。

例10：从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数使他们的和大于100，则不同的取法有几种？

分析：此题数字较多,情况也不一样,需要分析模索规律?

1+100=101100,1为被加数的有一种,同理2为被加数有2种,…,49为被加数有49种,50为被加数有50种,但51为被加数只有49种(扣除前面已取过的),同理52为被加数只有48种,…,99为被加数只有1种,故不同的取法有

 

总结

上述8个原则,如果能熟练地掌握,自觉灵活地运用,将对解答排列组合问题起到重要的作用,但是排列组合问题,确实千变万化,要想彻底解决问题,非提高思维能力不可.

 

叁考文献

[1] 排列组合问题中元素异性问题浅线/吴向阳主编/数学通讯2003年第三期16页

[2] 例谈排列组合应用提的求解策略/廖顺宏主编/数学通报1999年第10期29页

[3] 排列组合问题的几种转化策略/赵春祥主编/数学通讯2000年6月11期21页

[4] 解决排列组合问题的十二种技巧/张俊岭主编/数学通讯2001年3月第5期18页

[5] 排列组合问题的解题原则/赵呈军主编/数学通讯1999年第10期21页

[6] 排列组合应用题中的分配分组问题导析/王勇主编/数学通报2002年第2期17页

[7] 排列组合问题的类型及解答策略/王秀奎，番继祥主编/数学通报2003年5期

 

致 谢

在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大提高。

在铁力瓦尔地老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样写正文，怎么样结尾。

非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，再他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础

 

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