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什么是四边形（四边形的定义及概念）

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平行四边形一章是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等。但由于本章的定义、定理较多，许多学生记忆有困难，用时易混淆，怎样才能学好本章呢？我认为应做好以下三方面。

一、弄清本章中平行四边形、矩形、菱形、正方形间的关系及其定义、性质和判定。

平行四边形、矩形、菱形、正方形都属于平行四边形，但又由于它们各自的特殊性，又分属于不同的图形。

什么是四边形（四边形的定义及概念）

 

构成这些图形的基本元素是边、角、对角线，所以在记忆它们的定义、性质、判定时应从这三方面入手，可利用自己对图形形状的认知加深记忆。

比如:对平行四边形的学习可与一般四边形作比较。

1、平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(根据边的特殊性给的定义)。

2、平行四边形性质:

①边:对边平行且相等。

②角:对角相等，邻角互补。

③对角线:对角线互相平分。

这些性质学生都可以通过观察图形得出，然后再利用全等三角形的知识加以证明即可。

什么是四边形（四边形的定义及概念）

 

3、平行四边形的判定方法。

边:①两组对边分别平行是平行四边形。

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形。

角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定也可通过与平行四边形的比较，从边、角、对角线三个方面去掌握。

什么是四边形（四边形的定义及概念）

二、掌握两个与三角形有关的性质定理。

1直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

这两定理常用来求线段长度或证明线段间的关系。当题中有三角形的中点时，要想到利用这两定理得出线段间的关系。

例1:在△ABC中，点D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高，求证:

①四边形ADEF是平行四边形；

②∠DHF=∠DEF

什么是四边形（四边形的定义及概念）

 

证明:①∵D，E分别为AB，BC中点，

∴DE//AF，同理EF//AD

∴四边形ADEF为平行四边形。

②∵四边形ADEF为平行四边形

∴∠DEF=∠DAF=∠DAH+∠HAF

∵AH是BC边上的高，D为AB中点

∴DH=AD

∴∠DAH=∠DHA，同理∠HAF=∠AHF

∴∠DAH+∠HAF=∠DHA+∠AHF

即∠DAF=∠DHF又∵∠DAF=∠DEF

∴∠DHF=∠DEF

例2:如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D，E，F，G，分别是AB，OB，OC，AC的中点。

(1)求证:四边形DEFG是矩形。

(2)若DE=2，EF=3，求△ABC的面积。

什么是四边形（四边形的定义及概念）

 

分析:由D，G分别为AB，AC中点，可得DG//BC且DG=1/2BC，同理可得EF//BC且EF=1/2BC，从而得DG//EF，且DG=EF，从而得DEFG为平行四边形。

而要证DEFG为矩形，还需证明该四边形中有一个角为90°。因为AB=AC，OB=OC，可得AO垂直BC且平分BC，再利用平分线即可得出四边形中有一个角为90°。

在第2问中要求△ABC中必须求出底和高，所以需添加辅助线。

(1)证明:连接AO并延长交BC于点H。

∵AB=AC，OB=OC，

∴AH丄BC，且BH=CH

又∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点。

∴DG//EF//BC，DE//AH//GF

∴四边形DEFG为平行四边形

又∵EF//BC，AH丄BC

∴AH丄EF

又∵DE//AH

∴DE丄EF

∴四边形DEFG是矩形。

要证明四边形为矩形或菱形，一般先证明它是平行四边形，再根据角或边的特殊性证明它是矩形或菱形。

(2)解:∵D，E，F，分别是AB，OB，OC的中点

∴AO=2DE=2×2=4，BC=2EF=2×3=6

∵OH是等腰直角三角形OBC斜边上的高

∴OH=BH=1/2BC=1/2×6=3

∴AH=AO+OH=4+3=7

∴S△ABC=1/2×6×7=21

三、能运用转化的数学思想，解题方法一定要灵活。

例:如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE丄BC，PF丄CD，垂足分别为点E，F，求证PA=EF。

什么是四边形（四边形的定义及概念）

 

分析:由题中已知条件易得出四边形PECF为矩形，要证明PA=EF，一般利用三角形全等，但根据条件，无法证明这两线段所在的两三角形全等。所以需添加辅助线，进行转化。因为矩形的对角线相等，可连接PC，得PC=EF，只需证明PC=PA即可

什么是四边形（四边形的定义及概念）

 

证明:连接PC。

∵PE丄BC，PF丄CD

∴∠PEC=∠PFC=90°，又∵∠ECF=90°

∴四边形PECF为矩形

∴PC=EF

又∵在△ABP和△CBP中

AB=CB，∠ABP=∠CBP，BP=BP

∴在△ABP≌△CBP

∴PA=PC

∴PA=EF

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